수학에 있어 '이데알이론'입니다 - 쉬운 내용이지만, 깊은 의미를 가지고 있습니다

우리는 이제 이데알(Ideal)이라는 내용을 먼저 공부하자

모든 a,b가 정수 Z에 속한 원소일 때에, 어떤 r,s가 정수 Z에 속하여
최대공약수의 방정식 ggT(a,b) = ra + sb가 성립한다-는
통찰은

정수(Z)의 환(環 Ring)에서
성립하는 이데알(Ideal)의 구조에 대한
정리의 특별한 경우이다


다음이 성립할 때, 이데알(Ideal)이라고 부른다

-정수Z의 부분집합 'a'는 정수Z속의 이데알이다-

<정의> :

1)a와 b가 이데알('a')의 원소이면, 언제나 a - b  'a'이다
2)a가 이데알('a')의 원소이고 x가 정수Z의 원소이면,
언제나 xa'a'는 이데알('a')의 원소이다

우리는 특히 여기서 '이데알'이라는 단어의 선택에 대해서,
또한 '이데알의 전체개념'에 대해서는
적게 말하려고 합니다

다만 여기에서 다음을 이야기하는 것으로 충분하다-고 강조하고 싶다

'이데알'은 임의의 환(Ring)속에서,수학적으로 기본적인 역할을 하며
그리고 '이데알'은 고급적이고, 대수적인 수의 이론에 있어서
특히 필수불가결하다

정수Z속의 각각의 이데알 'a'는 제로(0)을 포함한다
왜냐하면, 정의 1)로부터 a가 이데알'a'의 원소이다면,
0 = a - a가 되어 영 0은 이데알이 된다

정수Z속의 이데알을 나타내기는 쉽다

정리 :

n이 자연수N의 원소이고, 그리고 a(1), a(2),...,a(3)가 어떤 수로서
정수Z의 원소이다면, 다음이 성립한다

집합  'a':= { zZ : z = x(1)a(1) + x(2)a(2) + .....+x(n)a(n),  x(1), x(2), .....x(n) Z}

은 정수Z속에서 계수를 가지고, 또한 a(1), a(2), .....a(n)으로부터 모든 선형결합으로서

정수Z속에서 이데알(Ideal)을 만든다

~원래 이데알 'a'는 독일의 옛 문자의 소문자 로 표기하기로

  수학에서 약속했습니다

  마치 집합의 집합을 독일의 옛문자의 대문자로 표기하듯이...~

*아래의 독일원서에서 번역하였습니다*

-GRUNDSTUDIUM MATHEMATIK-

출전 ; Elementare Zahlentheorie(=Elementary Numbertheory)

저자 : Reinhold Remmert , Peter Ullich

출판 : Birkhauser

이데알이론의 창시자 : 독일 수학자 'E. 쿰머'

Ernst Kummer
Born	Ernst Eduard Kummer (1810-01-29)29 January 1810 Sorau, Prussia
Died	14 May 1893(1893-05-14) (aged 83) Berlin, Brandenburg, Germany
Nationality	Prussian
Alma mater	University of Halle (Ph.D., 1831)
Known for	Bessel functions, Kummer theory, Kummer surface, and other contributions
Scientific career
Fields	Mathematician
Institutions	University of Berlin University of Breslau Gewerbeinstitut Lomonosov University
Thesis	De cosinuum et sinuum potestatibus secundum cosinus et sinus arcuum multiplicium evolvendis (1831/1832)
Doctoral advisor	Heinrich Scherk
Doctoral students	Gotthold Eisenstein Georg Frobenius Lazarus Fuchs Wilhelm Killing Adolf Kneser Franz Mertens Hermann Schwarz Georg Cantor Hans Carl Friedrich von Mangoldt Adolf Piltz Friedrich Prym