파스칼 - 끝

원 형길(原 亨吉)이 해석한
파스칼이 연구한 수학적 귀납법(歸納法)의 정식화를
이해한다는 것은,

치밀한 텍스트(text)의 독해를 바탕으로 한 것으로,
비범한 것인데도 불구하고,
비판을 면할 수가 없는 이유가 있다

먼저, 원(原)씨 자신은, 자신이 쓴 책에서
파스칼에 관한 장(章)에 덧붙이는 해설에서,
이와같이 쓰고있다

"이 (귀납법적) 증명은 곧 Levi Ben Gershon에 의해서
사용되고 있지만, 파스칼은 그 사실을 알고 있었다고는
생각하지 않는다"
(원 형길, <근세의 수학>, 치쿠마 학예문고, 2013년)

이 글에서 언급하고 있는 레비 벤 게르송이라는 사람은,
13세기 유태인 수학자로,

원(原)은 그의 정식화에 대한 인식을,
라비노비치의 논문(N. L. Rabinovitch,
"Rabbi Levi Ben Gershon and the Origins of
Mathematical Induction" Archive of History of
Exact Sciences 6 (1970), pp237~248)에
기초하여 기술한 것이다

파스칼의 귀납법(Induction)의 정식화는 일반적으로
기호를 가지고 써서 표현한 것이 아니기에,

n번째에 관해서 일반적으로 성립한다는 언어의 방식은
야콥 베르누이의 <추측술 推測術>(1713년)로서
최초로 한다

처음에, 수학적 귀납법은, 직관적으로 그 추론의 정당함이
널리 인식되어 있었지만,

포앙카레의 <과학과 가설>(1902년)에서 지적하고 있듯이,
논리학으로 부터 도출할 수 없는 추론법이다

로슈디 라셰가 말했듯이,
선구적(先驅的) 형태와, 데데킨트와 페아노가 정식화한 것을
함께 염두에 두면서,
역사적인 관점에서 그 범위를 구조적으로 이해할 필요가 있다

수학의 철학에 대한 비할 데 없는 논문 <기하학적 정신에 대하여>
에 관하여,
파스칼은 엄격한 가하학적 직관주의자의 관점을 제시하고 있는 것으로
보아야한다

이 관점은, 수학적 기초론의 분야에서, "최고의 기하학자"라고 칭하는
이탈리아의 토리첼리를 넘어설 수 있다는 것이 확실시 된다고
생각한다

이러한 의미에서, 파스칼은 프랑스의 "최고의 기하학자"의 지위를
갖추고 있다고 말할 수 있으리라

파스칼에 대한 수학사적인 연구는,

전후(戰後)에 오사카대학에서 中村 幸四郞과 原 亨吉에 의해서 이루어졌고,

원(原)의 연구는, Kokiti HARA L'Oeuvre Mathematique de Pascal,

(='原 亨吉 하라 코키티, 파스칼의 수학적 저작집')

Tirage a part du numero 21 des Memoires de la Faculte des Lettre

de l'Universite d'Osaka, 1981 : 

(大阪大學 文學部 紀要, 제21호, 1981년 3월)에 모아서 기록하고 있다

또한, 원(原)에 의한 파스칼의 논문들의 일본어번역은

파스칼<수학논문집>(치쿠마 학예문고, 2014년)으로 출판되었고,

거기에는 "기하학적 정신에 대하여"의 일본어번역(사사키 치카라 번역)이

수록되어 있고, 사사키 치카라에 의한 문고판 해설

"파스칼의 수학사상의 역사적인 의미"도 함께 실려있다

**'100인의 수학자'에서

    이 파스칼에 대한 글은

   사사키 치카라(佐々木 力)씨가

   쓴 것입니다**

-번역의 끝-

순수수학과 대학의 수학과에서는 문제를 푸는 것이 아니라

모두 증명하는 것입니다

물리학과의 수리물리학이나 공과계열의 공업수학과 달리

수학의 모든 분야에서

수학은 증명을 해야됩니다

그 증명은 주로 귀납법(歸納法)과 귀류법(歸謬法)

이 2가지를 대부분 사용합니다

 ＊＊수학적 귀납법 :

자연수 n에 대한 명제 p(n)이 모든 자연수 n에 대하여 성립한다는 것을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.
i) n=1일 때, 명제 p(n)이 성립함을 보인다.
ii) 임의의 자연수 k에 대하여 n=k일 때 명제 p(n)이 성립한다고 가정하고, n=k＋1일 때 명제 p(n)이 성립함을 보인다.
이것을 수학적 귀납법(數學的 歸納法, mathematical induction)이라고 한다.

모든 자연수 n에 대하여 등식 1＋3＋5＋···＋(2n-1)=n² ······ ①이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라.
(i) n=1일 때 (좌변)=1 (우변)=1²=1이므로 ①이 성립한다.
(ii) n=k (k≥1)일 때 ①이 성립한다고 가정하면 1＋3＋5＋···＋(2k-1)=k²
이 식의 양변에 2k＋1을 더하면 1＋3＋5＋···＋(2k-1)＋(2k＋1)=k²＋(2k＋1)=(k＋1)²이므로 ①은 n=k＋1일 때도 성립한다. 따라서 (i), (ii)로부터 모든 자연수 n에 대하여 ①이 성립한다.

＊＊수학적 귀류법

귀류법(歸謬法, proof by contradiction)은 증명하려는 명제의 결론이 부정이라는 것을 가정했을 때 모순되는 가정이 나온다는 것을 보여 원래의 명제가 참인 것을 증명하는 방법이다. 유클리드가 일찍이 2,000년 전에 소수의 무한함을 증명하기 위해 사용했을 정도로 오래된 증명법인 귀류법은 간접증명법으로, 배리법(背理法) 또는 반증법(反證法)이라고도 한다.

 ‘가 유리수가 아니다’를 귀류법으로 증명해보자.

‘가 유리수다'라고 가정하면, (a, b는 서로소)이다. 을 양 변 제곱하면 2a²=b²이므로 b²은 2의 배수다. b=2b´ (b´은 자연수)라고 하면 2a²=(2b´)², 2a²=4(b´)², a²=2(b´)²이므로 a²은 2의 배수다. 그러면 a도 2의 배수다. 이는 a, b는 서로소라는 가정에 모순이 된다. 따라서 가 유리수가 아니다.

(*이 두가지 증명법은 빌려온 것입니다)