리만 - 3

리만의 복소함수론에 있어서
또한가지의 특징은
리만의 평면(平面)이라는 개념입니다

리만은 변화량 z의 변역(變域)으로
복소평면의 위에 "서로 겹쳐지면서 여러겹으로도 넓어지는 면(面)",
즉 오늘날의 리만평면의 개념을 상정하고,

해석함수에 대한 생각의 관점을
리만평면으로 확대하고자 하는 아이디어를
제안하였다

이 아이디어의 실제적 존재는
"리만평면위에서의 해석함수의 존재증명"으로
성립되었지만,

리만은 이것을 변분법(變分法)의 "디리클레의 원리"의 도움을
받아서 증명하였다

(오류가 있는 것은 바이어쉬트라스(Weierstrass)가 지적하였지만,
그 후에 힐버트(Hilbert)가 바로 잡았다)

베를린대학에서 디리클레(Dirichlet)와의 만남이
이 부분에서 생겨난 것이다

1854년 6월 10일,
괴팅겐대학에서 교수자격의 취득을 위한 시험강의가
이루어지고,

"삼각급수에 의한 함수의 표현가능성에 대하여",
"두개의 미지수를 가진 두개의 2차방정식의 해법에 대하여",
"기하학의 바탕에 놓이는 가설에 대하여"

라는 3가지 강연제목을 제출하였을 때,
가우스(Gauss)는 세번째의 테마를 선정했다

리만은 가우스의 곡면론(曲面論)의 영향을 기초로 하여
"다중연장량(多重延長量)"에 대하여 자세히 설명하여,
다양체의 개념을 제안하였다

이로부터 오늘날에 리만기하학으로의 길이 열렸지만,
리만은, "이와같은 연구는 수학의 많은 영역,
그중에서도 특히 다가해석함수를 취급하는데에 필요하다

이것이 결여되어 있는 것이, 유명한 아벨(Abel)의 정리이고,
미분방정식의 일반이론에 있어서
라그랑제, 파푸, 야코비의 연구가 오랫동안, 그 결과가 없는
상태로 있는 주요한 원인이기도 하다"
라고 말했다

리만에 의해서, 다양체(多樣體)의 개념이
수학의 많은 영역에서 연결점의 위치를 점하고 있다는
점을 말하고 있다

교수자격취득시험을 위해서 제출한 강연제목
"삼각급수에 의한 함수의 표현가능성에 대하여"는
가우스가 채택하지 않았지만,

리만이 죽고난 뒤에,
데데킨트(Dedekind)와 하인리히 베버(H. Weber)가
편집한 전집(全集)에 수록되었다

이 논문은 푸리에(Fourier)의 해석이 논해지고,
앞선 디리클레의 여러논문과 함께,
오늘날에 실해석(實解析)의 기초가 되었다

머리말에 "삼각급수에 의한 함수표현가능성에 대한
문제의 역사"라는 제목을 가진 글이 배치되고,
이 이론의 역사적 경위가 상세하게 설명하고 있는데,

이러한 유형의 학위논문의 경우가 그러하듯이,
어디까지나 역사라는 면에서 어떤 일이 일어났는가를
말하고자 하는 리만의 사색의 자세가 뚜렸이
나타나고 있다

도중에 "원래 정적분이란 무엇인가"라는
근원적인 물음을 하고서,
오늘날의 리만적분(積分)의 개념을 제시하여
스스로 그 답을 하였다