리만 - 4

리만의 수학연구를 가장 잘 상징하는 바는
아벨(Abel)의 함수이론이다

1857년에 <클렐레 수학 학술지>의 제 54권에
리만은 다음과 같은 4편의 논문을
싣었다

(제11논문)
"독립변화량의 함수의 연구를 위한 일반적 전제들과 보조수단"
(제12논문)
"2항 완전미분의 적분의 이론을 위한 위치해석에서의 정리들"
(제13논문)
"1개의 복소수변화량을 가진 함수의, 경게조건과 불연속성의 조건
에 의한 결정"
(제14논문)
"아벨의 함수의 이론"

본론은 제14논문이다
처음의 3가지논문은 학위논문의 요약이고,
본론을 위한 기초이론이다

논문의 발표에 앞서서 강의가 있었다
교수자격취득을 위한 시험에 합격한 리만은,
사강사(私講師)가 되어,

1851년의 가을부터 다음 해 1852년의 봄에 걸쳐서,
다중연결의 리만평면의 등각사상에 대하여
강의를 했다

3년 후인 1855년의 부활절 무렵에,
다시 아벨함수론으로 되돌아 와서,
1856년에 마지막으로 글을 더하여 완성하였다

제14논문은 2부로 이루어졌는데,

제1부의 내용은,
"같은 분지(分岐)를 가지는 대수함수와 그 적분영역의 이론"
이다

대수함수를 콤팩트(compact)하고
리만의 면(面)위에서 해석함수라고 본다는
시점을 수립하여 내세우고,

무엇보다도 먼저,
디리클레의 원리에 기초하여,어떤 임의의 리만의 면위에,
지정된 분지의 양식과 불연속성을 허용하는
대수함수가 존재한다는 것을 증명하려고
시도하였다

대수함수의 적분은 오늘날의 언어로 풀이하면
아벨의 적분이라고 불리지만,
리만이 쓴 호칭은 "아벨함수"이다

게속하여
"같은 분지를 가진 대수함수의, 어디에서나
유한한 임의의 적분영역을 대상으로 하는
아벨의 덧셈정리"가 나타나고,

그 응용으로서
미분방정식계의 적분으로의
응용을 논하고 있다

-번역의 계속-