함수해석학을 공부하는 방법

 

 

우리는 함수공간(函數空間)에서 무한차원(無限次元)의 바나흐공간과

유한차원(有限次元)의 바나흐공간(Banach Space)에 있어서
여러가지 차이점이 존재한다는 사실을 보았습니다

이러한 차이는, 유한차원의 공간, 특히 3차원공간에 살고있는 우리의 직감(直感)이
경우에 따라서, 무한차원의 바나흐공간에 대하여 더 이상 소용이 없다는 것을
의미하고 있습니다

(**무한차원의 공간은 n차원을 말하는 것입니다　n=1,2,3,4,5,...)

그런 경우에, 그 어떤 방법이 없기 때문에, 증명(Proof)을 읽고,

또는 증명을 모방하여
여러가지 명제(命題)를 이해한다든지하여 그것을 증명하게 됩니다

이러한 단계가 함수해석학(函數解析學)을 공부하는데에 있어 최초의 산(山)
입니다

이 단계를 돌파하는데에는, 어떤 사람이라도 모두, 땀이 뚝뚝 떨어지는 것이다
라고 상상하면 됩니다
필자(筆者)도 안개속을 걸어서 돌아온 것 같은 느낌이 들었다고 기억하고
있습니다

그러나, 불가사의하게도, 수학적인 논리(論理)에만 의존하여
무한차원의 바나흐공간의 세계속을 걸어서 돌아오고 있는 가운데에,
무한차원의 공간에 사용되는 직감(直感)이 형성되고,
뜻밖에도 안개가 맑게 개어지는 것을 체험하게 됩니다

(**유한차원에서 적용되는 것이 무한차원에서는 적용이되지 않는다)

나의 수학의 연구실(硏究室)에 들어와서 함수해석을 모르는 젊은 학생들은
맨처음에 당황하며 어리둥절하면서도, 실제로는
짧은 기간내에 함수해석학의 직감을 얻고 파악하여 전진해 나아가는데에 관심이 많다

어떻게 하면, 그러한 직감을 획득하는가를 살펴보면,
유한차원의 공간과 무한차원의 공간의 차이점을 파악하고,
논리적 추론(推論)을 이용하여 함정이나 덫에 걸려들지 않으면서
계속 공부하려고 하면 됩니다

이러한 두가지 차원의 차이점를 파악하는데에는,
우선 먼저 중요한 정리(定理)를 완전히 전부 암기(暗記)하는 것으로
시작하면 좋습니다

조금 익숙해져 가면, 증명에 의지하여, 여러가지 정리와 증명을
산책하며 공부하는 것이 좋다
육감을 사용하여 더듬어 가면서, 점점 생략하고 그냥 넘어갈 수
있게 되는 듯합니다

그러므로 이 책(비선형해석학입문)도 먼저, 증명을 읽지않는 것이 좋다
그러나, 무한차원공간과 유한차원공간의 차이가 새겨져 떠오르도록
공부하면 됩니다

 

 

**S. Banach는 세계적으로 뛰어난 현대 폴란드의 수학자이며,

                      함수해석학의 창시자중에 한명입니다^^

 

**함수공간은 함수를 하나의 점(Points)으로 보고 그 성질을 연구

                      하는 현대 해석학의 한 분야입니다

 

 

책제목:非線型解析學入門(비선형해석학입문)

출판사:ころな社(코로나사)

저  자:大石 進一(工學博士)

 

의 번역(飜譯)입니다

 

 

 ( 수학에는 수학자가 창조하고 만들어 낸

 여러가지 공간(空間, Space, Raum, Espace,

 пространство(prostranstvo)이 존재합니다

 

 이 책 비선형해석학에서도, 함수공간으로

 그리이스의 유클리트공간, 폴란드 수학자의

 바나흐공간, 독일의 힐버트공간 그리고

 러시아 수학자 소볼레프(Sobolev)공간등이 나옵니다

 

 우리가 낮선 땅에 들어가면 신비롭고 재미있는

 현상을 발견하듯이

 수학자가 만든 수학적 공간도 그러합니다

 

 비슷한 예로 아인쉬타인의 4차원공간처럼...

 그러나 이러한 수학적 공간은 일반상대성이론의

 우주론적 장방정식(Kosmologische Feldgleichung)만큼은

 어렵지 않습니다^^

 

 20세기 중반부터

 현대의 미국수학은 매우 발전하였지만

 현대물리학인 양자론과 상대론은 모두 독일의 수학에

 뿌리를 두고 있습니다

 

 양자역학은 힐버트공간에서 이루어지고,

 상대성이론은 리만공간과 민코프스키공간을 전제로

 합니다

 

 이론물리학은 수학없이는 불가능한 학문입니다

 

 수학적 힐버트공간(Hilbert Space)은 물리학적

 양자역학의 바탕이 되는 공간이기도 합니다!

 

수학자가 각고의 연구 끝에 자신이 만든 고유한 공간을

창조한다면 얼마나 기쁠까요) ( ^ ^ )